Question

已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32                          ①

b+c-a

bc

+

c+a-b

ca

+

a+b-c

ab

=

1

4

②
是否存在以

a

，

b

，

c

为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．

Answer 1

分析：解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为

(b-c+a)

abc

(c+a-b)(c-a+b)=0．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°

解答：解法1：将①②两式相乘，得(

b+c-a

bc

+

c+a-b

ca

+

a+b-c

ab

)(a+b+c)=8，
即

(b+c)2-a2

bc

+

(c+a)2-b2

ca

+

(a+b)2-c2

ab

=8，
即

(b+c)2-a2

bc

-4+

(c+a)2-b2

ca

-4+

(a+b)2-c2

ab

=0，
即

(b-c)2-a2

bc

+

(c-a)2-b2

ca

+

(a+b)2-c2

ab

=0，
即

(b-c+a)(b-c-a)

bc

+

(c-a+b)(c-a-b)

ca

+

(a+b+c)(a+b-c)

ab

=0，
即

(b-c+a)

abc

[a(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)]=0，
即

(b-c+a)

abc

[2ab-a2-b2+c2]=0，
即

(b-c+a)

abc

[c2-(a-b)2]=0，
即

(b-c+a)

abc

(c+a-b)(c-a+b)=0，
所以b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以

a

，

b

，

c

为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得

32-2a

bc

+

32-2b

ca

+

32-2c

ab

=

1

4

，
变形，得1024-2(a2+b2+c2)=

1

4

abc③
又由①式得（a+b+c）²=1024，即a²+b²+c²=1024-2（ab+bc+ca），
代入③式，得1024-2[1024-2(ab+bc+ca)]=

1

4

abc，
即abc=16（ab+bc+ca）-4096．（a-16）（b-16）（c-16）=abc-16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）-16³=-4096+256×32-16³=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以

a

，

b

，

c

为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．

点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．