Question

如图，已知点A的坐标为（

3

，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=

3

x

的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若以点C为圆心，CA的k倍的长为半径作圆，该圆与x轴相切，则k的值为

3+ 3

4

．

Answer 1

分析：先根据勾股定理求出OA的长，再利用待定系数法求出直线OA的解析式，故可得出C点坐标，过点C作CE⊥x轴于点E，则△OAB∽△OCE，再由相似三角形的对应边成比例即可求出OC的长，进而得出CA的长，故可得出结论．

解答：解：∵点A的坐标为（

3

，3），AB⊥x轴，垂足为B，
∴OA=

AB2+OB2

=

32+( 3 )2

=2

3

，
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
∵点A的坐标为（

3

，3），
∴

3

k=3，解得k=

3

，
∴直线OA的解析式为y=

3

x（k≠0），
∴

y= 3 x y= 3 x

，解得

x=1 y= 3

，
∴C（1，

3

），
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵AB⊥x轴，
∴△OAB∽△OCE，
∴

OC

OA

=

CE

AB

，即

OC

2 3

=

3

3

，解得OC=2，
∴CA=OA-OC=2

3

-2=2（1-

3

），
∵以点C为圆心，CA的k倍的长为半径作圆，该圆与x轴相切，
∴kCA=CE，即2（1-

3

）=

3

，解得k=

3+ 3

4

．
故答案为：

3+ 3

4

．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．