分析 （1）由点A，B的坐标确定出AB，再由OC=AB确定出点C的坐标，然后把点A，C的坐标代入抛物线解析式中；
（2）先确定出直线AB解析式为y=x-4，然后分两种情况有条件建立方程求解；
（3）按（2）中两种情况讨论，第一种不成立，第二种情况△PDA1与△GEA1的面积之比为1+2$\sqrt{2}$：1建立方程求解即可．
解答 解：（1）∵点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，-4），
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵C为y轴负半轴上一点，且OC=AB，
∴OC=4$\sqrt{2}$，
∴C（0，-4$\sqrt{2}$），
∵A，C在抛物线上，
∴16$\sqrt{2}$+4b+c=0，c=-4$\sqrt{2}$，
∴b=-3$\sqrt{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\sqrt{2}$x2-3$\sqrt{2}$-4$\sqrt{2}$，
（2）∵点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，-4），
∴直线AB解析式为y=x-4，
设点A1（t，t-4），
当△A1OD是以A1D为腰的等腰三角形时，
①DO=DA1，∠OA1D=45°，
∴A1D⊥y轴，
∴t=4-t，
∴t=2，
∴A1（2，-2），D（0，-2）
②A1O=A1D，
∵∠OA1D=45°，
∴∠A1OD=∠A1DO=∠BA1O，
∴BO=BA1=4，
∴$\sqrt{{t}^{2}+（t-4+4）^{2}}$=4，
∴t=2$\sqrt{2}$，
∴A1（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-4），D（0，4$\sqrt{2}$-8），
（3）①DO=DA1时，A（2，-2），D（0，-2），
∴AD∥x轴，
即：A1B1∥x轴，
∴点E不可能在x轴，
∴不成立；
②如图，
A1O=A1D，
∵A1（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-4），D（0，4$\sqrt{2}$-8），
∴直线A1B1的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+4$\sqrt{2}$-8，
∴E（4$\sqrt{2}$，0），
∴A1是DE的中点，
过点D作DH∥x轴，与GP交于H，
∴△GEA1≌△HDA1，
∵$\frac{{S}_{△PD{A}_{1}}}{{S}_{△GE{A}_{1}}}=\frac{1+2\sqrt{2}}{1}$，
∴$\frac{{S}_{△PDH}}{{S}_{△GE{A}_{1}}}=\frac{2\sqrt{2}}{1}$，
$\frac{-{y}_{P}+{y}_{D}}{-{y}_{D}}=\frac{-{y}_{P}+4\sqrt{2}-8}{8-4\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴yD=-4$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$x2-3$\sqrt{2}$x-4$\sqrt{2}$=-4$\sqrt{2}$，
∴x1=0，x2=3
∴P（0，-4$\sqrt{2}$），P（3，4$\sqrt{2}$）．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了特殊点的确定，三角形全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用方程的思想解决问题，
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