【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5.(2)m=2或m=;
(3)理由见解析.
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形,然后根据PE=CE的条件,列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时,P点y轴上,即可得到点P坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A (﹣1,0),B(5,0)两点,
∴解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+3),F(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.
由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|﹣m+15|
①若﹣m2+m+2=﹣m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m=;
②若﹣m2+m+2=﹣(﹣m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m=或m=.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=、m==这两个解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假设存在.
作出示意图如下:
∵点E、E′关于直线PC对称,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.
当四边形PECE′是菱形存在时,
由直线CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,
∴==,即=,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|
∴|﹣m2+m+2|=|m|.
①若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣;
②若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+,m2=3﹣.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=3+这个解舍去.
当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时,
此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上,也符合题意,
∴P(0,5)
综上所述,存在满足条件的点P坐标为(0,5)或(﹣,)或(4,5)或(3﹣
2﹣3).
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【题目】如图,为了缓解交通拥堵,方便行人,在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥,若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°,斜坡CD的坡度为i=1:1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比),上底BC=10m,天桥高度CE=5m,求天桥下底AD的长度?(结果精确到0.1m,参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)
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【题目】如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80 m,DE=10 m,求障碍物B,C两点间的距离.(结果精确到0.1 m)(参考数据: ≈1.414,、≈1.732)
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,△ABC的高CD与角平分线AE相交点F,过点C作CH⊥AE于G,交AB于H.
(1)求∠BCH的度数;
(2)求证:CE=BH.
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【题目】如图,已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.
(1)求∠BAD的度数;
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.
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