精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A﹣10),B50)两点,直线y=﹣x+3y轴交于点C,与x轴交于点D.点Px轴上方的抛物线上一动点,过点PPF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m

1)求抛物线的解析式;

2)若PE=5EF,求m的值;

3)若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x2+4x+5.(2m=2m=

3)理由见解析.

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;

2)用含m的代数式分别表示出PEEF,然后列方程求解;

3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形,然后根据PE=CE的条件,列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时,Py轴上,即可得到点P坐标.

试题解析:(1抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A ﹣10),B50)两点,

解得

抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5

2P的横坐标为m

∴Pm﹣m2+4m+5),Emm+3),Fm0).

∴PE=|yP﹣yE|=|﹣m2+4m+5m+3|=|﹣m2+m+2|

EF=|yE﹣yF|=|m+3﹣0|=|﹣m+3|

由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|﹣m+15|

﹣m2+m+2=﹣m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0

解得:m=2m=

﹣m2+m+2=﹣m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0

解得:m=m=

由题意,m的取值范围为:﹣1m5,故m=m==这两个解均舍去.

∴m=2m=

3)假设存在.

作出示意图如下:

EE′关于直线PC对称,

∴∠1=∠2CE=CE′PE=PE′

∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3

∴∠2=∠3∴PE=CE

∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.

当四边形PECE′是菱形存在时,

由直线CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4OC=3,由勾股定理得CD=5

过点EEM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO

==,即=,解得CE=|m|

∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|

∴|﹣m2+m+2|=|m|

﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4m=﹣

﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+m2=3﹣

由题意,m的取值范围为:﹣1m5,故m=3+这个解舍去.

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时,

此时P点横坐标为0ECE'三点重合与y轴上,也符合题意,

∴P05

综上所述,存在满足条件的点P坐标为(05)或()或(45)或(3﹣

2﹣3).

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,为了缓解交通拥堵,方便行人,在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥,若天桥斜坡AB的坡角BAD为35°,斜坡CD的坡度为i=1:1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比),上底BC=10m,天桥高度CE=5m,求天桥下底AD的长度?(结果精确到0.1m,参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC BD 交于O,AC=BD.

求证:(1)BC=AD;

(2)△OAB是等腰三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80 m,DE=10 m,求障碍物B,C两点间的距离.(结果精确到0.1 m)(参考数据: ≈1.414,、≈1.732)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】下列平面图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知x+y=2,xy=﹣2,则(1﹣x)(1﹣y)的值为( )
A.﹣1
B.1
C.5
D.﹣3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图ABCACB90°ACBCABC的高CD与角平分线AE相交点F过点CCHAEGABH

1)求BCH的度数

2)求证CEBH

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】买一个足球需要m元,买一个篮球需要n元,则买4个足球和7个篮球共需要多少元(

A.4m+7nB.28mnC.7m+4nD.11mn

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图已知∠BAC=60° ,B=80° ,DE垂直平分ACBC于点D,AC于点E.

(1)求∠BAD的度数

(2)AB=10,BC=12,ABD的周长.

查看答案和解析>>

同步练习册答案