Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接AE．过点D作DM⊥AE，垂足为M，⊙O经过点A，B，M，与AD相交于点F．

（1）求证：△ABM∽△DFM；

（2）若正方形ABCD的边长为5，⊙O的直径为，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析;(2)

【解析】

（1）由四边形ABCD为正方形，可得∠BAM＝∠ADM，再由四边形BAFM为圆内接四边形，可得∠ABM＝∠MFD，可以求证；

（2）连接BF，得BF为直径，由勾股定理可得到AF的长，从而得FD＝3，因为△ABM∽△DFM，所以有，而易证△ADM∽△DEM，可得，即可得DE的长度．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAM+∠MAF＝90°，

∵DM⊥AE，

∴∠MAD+∠ADM＝90°，

∴∠BAM＝∠ADM，

∵四边形BAFM为圆内接四边形

∴∠ABM+∠AFM＝180°

∴∠ABM＝∠MFD

∴△ABM∽△DFM

（2）如图，连接BF，

∵∠BAF＝90°，BF为直径

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝＝2，

∴FD＝3，

∵△ABM∽△DFM，

∴，

∵∠DEM＝∠ADM，∠AMD＝∠DME＝90°，

∴△ADM∽△DEM，

∴，

∴DE＝AD＝＝