Question

平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交与点A（4，0）、B（0，3）两点，在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合点P的坐标（并画出相对应的图）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再利用勾股定理列式求出AB，然后分①∠OBP是直角时，分两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，然后写出点P的坐标；②∠OPB是直角时，分∠BOP=∠OAB和∠BOP=∠OBA两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出PO的长，然后利用瑞角三角函数求出点P的坐标即可，③∠BOP是直角时，点P在x轴上，不在第一象限，不符合题意．

解答：解：如图，∵点A（4，0）、B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

42+32

=5，
①∠OBP是直角时，若BP与OB是对应边，则△BPO∽△OBA，
∴

BP

OB

=

OB

OA

，
即

BP

3

=

3

4

，
解得BP=

9

4

，
此时，点P₁（

9

4

，3），
若BP与OA是对应边，则△BOP∽△OBA，
∴

BO

OB

=

BP

OA

，
即

3

3

=

BP

4

，
解得BP=4，
此时点P₂（4，3）；
②∠OPB是直角时，若∠BOP=∠OAB，则△PBO∽△OBA，
∴

PO

OB

=

OA

AB

，
即

PO

3

=

4

5

，
解得PO=

12

5

，
∵∠BOP+∠AOP=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠AOP=∠ABO，
∴点P的横坐标为PO•cos∠AOP=

12

5

×

3

5

=

36

25

，
点P的纵坐标为PO•sin∠AOP=

12

5

×

4

5

=

48

25

，
此时，点P₃（

36

25

，

48

25

）；
若∠BOP=∠OBA，则△POB∽△OBA，
∴

PO

OB

=

OB

BA

，
即

PO

3

=

3

5

，
解得PO=

9

5

，
∵∠BOP+∠AOP=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOP=∠OAB，
∴点P的横坐标为PO•cos∠AOP=

9

5

×

4

5

=

36

25

，
点P的纵坐标为PO•sin∠AOP=

9

5

×

3

5

=

27

25

，
此时，点P₄（

36

25

，

27

25

），
③∠BOP是直角时，点P在x轴上，不在第一象限，不符合题意；
综上所述，点P₁（

9

4

，3），P₂（4，3），P₃（

36

25

，

48

25

），P₄（

36

25

，

27

25

）时，以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，解直角三角形，难点在于分情况讨论．