Question

17．关于x的一元二次方程（a-6）x²-8x+9=0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；
②求2x²-$\frac{32x-7}{{x}^{2}-8x+11}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0，解得a≤$\frac{70}{9}$且a≠6，然后在次范围内找出最大的整数；
（2）①把a的值代入方程得到x²-8x+9=0，然后利用求根公式法求解；
②由于x²-8x+9=0则x²-8x=-9，然后把x²-8x=-9整体代入所求的代数式中得2x²-$\frac{32x-7}{-9+11}$=2x²-16x+$\frac{7}{2}$，再变形得到2（x²-8x）+$\frac{7}{2}$，再利用整体思想计算即可．

解答 解：（1）根据题意△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0，
解得a≤$\frac{70}{9}$且a≠6，
所以a的最大整数值为7；

（2）①当a=7时，原方程变形为x²-8x+9=0，
△=64-4×9=28，
∴x=$\frac{8±\sqrt{28}}{2}$，
∴x₁=4+$\sqrt{7}$，x₂=4-$\sqrt{7}$；
②∵x²-8x+9=0，
∴x²-8x=-9，
所以原式=2x²-$\frac{32x-7}{-9+11}$
=2x²-16x+$\frac{7}{2}$
=2（x²-8x）+$\frac{7}{2}$
=2×（-9）+$\frac{7}{2}$
=-$\frac{29}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想．