【题目】 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是边AB上一点,且AE=2EB,点P是边BC上一动点,连接EP,过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q.若点C关于直线PQ的对称点恰好落在边AD上,则BP的长为_____.
【答案】1或
【解析】
过点P作 PF⊥AD于点F,可证得四边形CPFD是矩形,可证得△BEP∽△CPQ和△PFC'∽△C'DQ,从而得,,可设设BP=x,则DF=PC=4-x,可求得CQ,继而可求得C'D,FC'与BP的关系,而DF=C'D+FC',通过解一元二次方程,解得x,即可求得BP.
如图,过点P作 PF⊥AD于点F
∴∠PFC=90°
∵矩形ABCD中,AB=3,BC=4
∴∠FAB=∠B=∠C=∠QDC'=90°,CD=AB=3
∴四边形CPFD是矩形
∴DF=PC,PF=CD=3
∵AE=2EB
∴AE=2,EB=1
设BP=x,则DF=PC=4﹣x
∵点C与C'关于直线PQ对称
∴△PC'Q≌△PCQ
∴PC'=PC=4﹣x,C'Q=CQ,∠PC'Q=∠C=90°
∵PE⊥PQ
∴∠BPE+∠CPQ=90°
∵∠BEP+∠BPE=90°
∴∠BPE=∠CPQ
∴△BEP∽△CPQ
同理可得:△PFC'∽△C'DQ
∴,,
∴CQ==x(4﹣x)
∴C'Q=x(4﹣x),DQ=3﹣x(4﹣x)=x2﹣4x+3
∴
∴C'D=3x,FC′=
∵FC'+C'D=DF
∴+3x=4﹣x
解得x=1或x=
故答案为1或
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【题目】李老师从“淋浴龙头”受到启发,编了一个题目:在数轴上截取从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M,如图1;将AB折成正三角形,使点A,B重合于点P,如图2;建立平面直角坐标系,平移此三角形,使它关于y轴对称,且点P的坐标为(0,2),PM与x轴交于点N(n,0),如图3.当m=时,n=_____.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+ax﹣3交x轴于点A,D两点,交y轴于点C,过点A的直线与x轴下方的抛物线交于点B,已知点A的坐标是(﹣1,0).
(1)求a的值;
(2)连结BD,求△ADB面积的最大值;
(3)当△ADB面积最大时,求点C到直线AB的距离.
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【题目】一次函数y=kx﹣1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大,则点P的坐标可以为( )
A. (﹣5,3) B. (1,﹣3) C. (2,2) D. (5,﹣1)
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【题目】(1)阅读理解
我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系.如图1,经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN交x轴和y轴于M、N,点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标.
如图2,ω=30°,直角三角形的顶点A在坐标原点O,点B、C分别在x轴和y轴上,AB=,则点B、C在此斜坐标系内的坐标分别为B ,C .
(2)尝试应用
如图3,ω=45°,O为坐标原点,边长为1的正方形OABC一边OA在x轴上,设点G(x,y)在经过A、C两点的直线上,求y与x之间满足的关系式.
(3)深入探究
如图4,ω=60°,O为坐标原点,M(2,2),圆M的半径为.有一个内角为60°的菱形,菱形的一边在x轴上,另有两边所在直线恰好与圆M相切,求此菱形的边长.
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【题目】如图,OA、OB是⊙O的两条半径,OA⊥OB,C是半径OB上一动点,连接AC并延长交⊙O于D,过点D作圆的切线交OB的延长线于E,已知OA=6.
(1)求证:∠ECD=∠EDC;
(2)若BC=2OC,求DE长;
(3)当∠A从15°增大到30°的过程中,求弦AD在圆内扫过的面积.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.下列说法错误的是
A. abc<0B. a﹣b+c<0C. 3a+c<0D. 当﹣1<x<3时,y>0
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【题目】在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2D2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3,…,按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3,…,在x轴上已知正方形A1,B1,C1,D1,的边长为1,∠OB1C1=30°,B1C1∥B2C2∥B3C3,…,则正方形AnBnnDn的边长是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,为了测量小山顶的铁塔AB高度,王华和杨丽在平地上的C点处测得A点的仰角为45°,向前走了18m后到达D点,测得A点的仰角为60°,B点的仰角为30°
(1)求证:AB=BD;
(2)求证铁塔AB的高度.(结果精确到0.1米,其中≈1.41,≈1.73)
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