Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+bx（b＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，

b

2

）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连结CB，CP．
（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；
（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；
（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB′P′，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B′P′（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用抛物线y=-x²+4x，求出点A的坐标及BC的长，
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．
（3）利用抛物线y=-x²+6x，求出BC，PC及EP的长，再分两种情况①当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，②当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，求出线段EM长度的取值范围．

解答：解：（1）∵b=4，
∴抛物线y=-x²+4x，
在y=-x²+4中，
令y=0，得-x²+4x=0，
∴x₁=0，x₂=4
∴A（4，0）
令x=1，得y=3
∴B（1，3）
∵对称轴x=-

4

2×(-1)

=2
∴C（3，3）
∴BC=2
（2）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，
∴∠BCP=∠DCA，
又∵∠CBP=∠CDA=90°
∴△CBP∽△CDA
∴

CD

BC

=

DA

BP

在y=-x²+bx中，
令x=1，则y=b-1
∴B（1，b-1）
又∵对称轴x=-

b

2×(-1)

=

b

2

，
∴BC=2（

b

2

-1）=b-2，
∴C（b-1，b-1），
∴CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-

b

2

=

b

2

-1，
∴

b-1

b-2

=

1

b 2 -1

，
∴b=3．
（3）∵b=6，
∴抛物线y=-x²+6x
在y=-x²+6x中，
令x=1，得y=5
∴B（1，5）
∵对称轴x=-

6

2×(-1)

=3
∴C（5，5）
∴BC=4，
∵P（1，

b

2

），
∴P（1，3），
∴BP=5-3=2，
∴PC=

42+22

=2

5

∵CP与抛物线对称轴的交点为E，
∴EP=EC=

1

2

PC=

5

，
①如图2，当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，

∴EM=EP-（PC-BC）=

5

-（2

5

-4）=4-

5

．
②如图3，当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，

EM=EC+P′C=

5

+2

5

=3

5

．
∴4-

5

≤EM≤3

5

．

点评：本题主要考查二次函数的综合题，解题的关键是数形结合找出EM取最大值及最小值时三角形CB′P′的位置．