Question

19．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=$\sqrt{2}$；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断④的正误，于是得到四个结论中正确结论．

解答 解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故④正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 $\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即b=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CAD=$\frac{DC}{AD}$=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故②不正确；
正确的有①③④，
故选C．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．