Question

如图，抛物线y＝x²－2x＋c的顶点A在直线l：y＝x－5上．

(1)求抛物线顶点A的坐标；
(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)，试判断△ABD的形状．

Answer 1

(1)A(1，－4)   (2)△ABD是直角三角形

解：(1)∵顶点 A的横坐标为x＝－＝1，
且顶点A在y＝x－5上，
∴当x＝1时，y＝1－5＝－4，∴A(1，－4)．
(2)△ABD是直角三角形．
将A(1，－4)代入y＝x²－2x＋c，
可得1－2＋c＝－4，
∴c＝－3，∴y＝x²－2x－3，∴B(0，－3)．
当y＝0时，x²－2x－3＝0，得x₁＝－1，x₂＝3，
∴C(－1，0)，D(3，0)．
∵BD²＝OB²＋OD²＝18，
AB²＝(4－3)²＋1²＝2，AD²＝(3－1)²＋4²＝20，
∴BD²＋AB²＝AD²，∴∠ABD＝90°，
即△ABD是直角三角形．