Question

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三、股四、弦五”．

(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算(9－1)，(9＋1)与(25－1)，(25＋1)，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；

(2)根据(1)的规律，用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想他们之间两种相等关系并对其中一种猜想加以证明；

(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数且m＞4)的代数式来表示他们的股和弦．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)∵(9－1)＝4，(9＋1)＝5；(25－1)＝12，(25＋1)＝13； 　　∴7，24，25的股的算式为(49－1)＝(72－1)，弦的算式为(49＋1)＝(72＋1)． 　　(2)当n为奇数且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别为n，(n2－1)，(n2＋1)． 　　例如关系式①，弦－股＝1；关系式②，勾2＋股2＝弦2． 　　证明关系式①：弦－股＝(n2＋1)－(n2－1)＝[(n2＋1)－(n2－1)]＝1； 　　或者证明关系式②：勾2＋股2＝n2＋[(n2－1)]2＝n4＋n2＋＝(n2＋1)2＝弦2，∴猜想得证． 　　(3)例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为()2－1，()2＋1． 　　剖析：首先根据题目中已知的数据及数据关系分析，再分析其一般规律．

提示：

本题是一个勾股数的探索问题，能考查学生观察、分析、类比、猜想和论证能力，第(2)、(3)小题都是开放题，考查学生的创新意识和创新能力．