Question

17．如图所示，△OA₁B₁，△A₁A₂B₂，△A₂A₃B₃，…，△A_n-1A_nB_n，都是等腰直角三角形，斜边OB₁，A₁B₂，…，A_n-1B_n的中点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）都在函数$y=\frac{16}{x}（x＞0）$的图象上，则y₁+y₂+y₃+…+y_n=4$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 根据△OP₁A₁是等腰直角三角形，过点P₁作P₁M⊥x轴，则P₁M=OM=MA₁，所以可设P₁的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a=4，从而求出A₁的坐标是（8，0），再根据△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，设P₂的纵坐标是b，则P₂的横坐标是8+b，把（8+b，b）代入函数解析式得到b的值，故可得出P₂的纵坐标y₂，同理可以得到p₃的纵坐标，P_n的纵坐标，根据规律可以求出y₁+y₂+…y_n．

解答 解：如图，过点P₁作P₁M⊥x轴，
∵△OP₁A₁是等腰直角三角形，
∴P₁M=OM=MA₁，
设P₁的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式y=$\frac{16}{x}$ （a＞0）中，得a=4，
∴y₁=4，
又∵△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，
∴设P₂的纵坐标是b（b＞0），则P₂的横坐标是8+b，把（8+b，b）代入函数解析式得b=$\frac{16}{8+b}$，
解得b=4$\sqrt{2}$-4
∴y₂=4$\sqrt{2}$-4，
设P₃的纵坐标是c（c＞0），则P₃横坐标为8+2（4$\sqrt{2}$-4）+c=8$\sqrt{2}$+c，把（8$\sqrt{2}$+c，c）代入函数解析式得c=$\frac{16}{8\sqrt{2}+c}$，
解得c=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，
∴y₃=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，
∵y₁=4$\sqrt{1}$-4$\sqrt{0}$，y₂=4$\sqrt{2}$-4$\sqrt{1}$，y₃=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，…
∴y_n=4$\sqrt{n}$-4$\sqrt{n-1}$，
∴y₁+y₂+y₃+…+y_n=4+4$\sqrt{2}$-4+4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$+…+4$\sqrt{n}$-4$\sqrt{n-1}$=4$\sqrt{n}$．
故答案为4$\sqrt{n}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题及等腰直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，找出点P的横坐标与纵坐标的关系是解答此题的关键．