Question

10．己知关于x的方程x²-（k-1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根x₁，x₂是一个矩形两边的长．
（1）k取何值时，方程的两根x₁，x₂都是负数．
（2）当矩形的对角线长是$\sqrt{15}$时，求k的值？

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，则判别式△≥0，得出关于k的不等式，求出k的取值范围，结合根与系数的关系．
（2）根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验．

解答 解：（1）设方程的两根为x₁，x₂
则△=[-（k-1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=-2k-3，
∵方程有两个实数根，
∴△＞0，
即-2k-3＞0，
∴k＜-$\frac{3}{2}$．
∵x₁+x₂=k-1＜0，x₁x₂=$\frac{1}{4}$k²+1＞0，
∴k＜1，
∴k＜-$\frac{3}{2}$．
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=k-1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}{k}^{2}+1}\end{array}\right.$，
又∵x₁²+x₂²=15，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=15，
（k-1）²-2（$\frac{1}{4}$k²+1）=15，
整理得k²-4k-32=0，
解得k=8或k=-4．
∴k的值为-4．

点评 此题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值．