Question

如图所示，已知与相交于B、C，AB是的直径，AB、AC的延长线分别交于D、E，过B点作的切线交AE于F．

求证：BF∥DE．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：连接BC． ∵AB是的直径， ∴∠ACB＝90°， 又四边形BCED是的内接四边形， ∴∠BDE＋∠BCE=180° ∵∠BCA＋∠BCE=180° ∴∠BDE=∠ACB=90°， ∵BF是过点B的的切线， ∴∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠D， ∴BF∥DE．

提示：

欲证BF∥DE，根据平行线的判定，需要利用同位角、内错角、同旁内角，图形中可直接看到同位角，如果能证明∠D=∠ABF，则结论可得，但因这两个角分别在两个圆里，没有相应的定理予以保证，所以怎样把两个圆的角转化到一个圆中，或找个“中介”转换一下，成为解决问题的关键点．此时，连接公共弦，利用“圆内接四边形的外角等于内对角”，即可得结论． 当遇到两个相交圆时，如果需要沟通角的关系时，往往需要连接辅助线——公共弦．