Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC．

（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）如图所示，直线OD即为所求；见解析；（2）△ABC的面积为10．

【解析】

（1）延长BC，在BC延长线上截取CE=CA，作BE的中垂线，垂足为D，作直线OD即可得；
（2）由作图知OD是△ABE中位线，据此知AE=2OD=4，继而由△ACE为等腰直角三角形得出AC=2，利用勾股定理求出BC的长，进一步计算得出答案．

（1）如图所示，直线OD即为所求；

（2）如图，∵OD为△ABE的中位线，

∴AE＝2OD＝4，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE＝CA，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝AE＝2，

由勾股定理可得BC＝2，

则△ABC的面积为ACBC＝×2×2＝10．