Question

已知⊙O的半径为r，AB、CD为⊙O的两条直径，且弧AC=60°，P为弧BC上的任意一点，PA、PD分别交CD、AB于E、F，则AE•AP+DF•DP等于（　　）

• A、3r²
• B、2

  3

  r2
• C、4r²
• D、3

  2

  r2

Answer 1

分析：由AB，CD是直径，弧AC为60°，可以证明△ACE和△DOF全等，得到对应边相等．由两组三角形相似，对应线段成比例，得到线段乘积的形式，然后结合图形进行计算．

解答：解：如图：
∵

AC

=60°，CD为直径，
∴

AD

=120°，∴∠C=60°=∠P．
在△ACE和△D0F中，
AC=OC=DO
∠C=∠DOF=60°
∠CAE=∠ODF
∴△ACE≌△DOF
∴CE=OF．
又∵△AOE∽△APF，△DOF∽△DPE
∴AE•AP=AO•AF，DF•DP=DO•DE．
∴AE•AP+DF•DP
=AO•AF+DO•DE
=r（r+OF）+r（r+OE）
=r（2r+OE+OF）
=r（2r+OE+CE）
=r（2r+r）
=3r²．
故选A．

点评：本题考查的是垂径定理，根据直径和弧的度数，得到两三角形全等，对应边相等．由三角形相似，对应线段成比例，得到线段乘积的形式，结合图形计算求值．