【题目】如图1,抛物线:交轴于点,,交轴于点.
(1)直接写出当时,的取值范围是____________;
(2)点在抛物线上,求的面积;
(3)如图2,将抛物线平移,使其顶点为原点,得到抛物线,直线与抛物线交于、两点,点是线段上一动点(不与、重合),试探究抛物线上是否存在点,点关于点的中心对称点也在抛物线上.
【答案】(1)或;(2)6;(3)抛物线上存在点,点关于点的中心对称点也在抛物线上,理由见解析
【解析】
(1)由抛物线与坐标轴的交点坐标,依据函数图象即可写出y>0时x的取值范围;
(2)求出P点坐标为(4,5),可求出直线PC的解析式,求出直线PC与x轴的交点坐标D(,0),由S△PCB=S△BDC+S△BDP可求出答案;
(3)由题意得抛物线C1的解析式为y=x2,设N(a,4),且-2<a<2,设R(m,m2),由中心对称的性质可表示K点的坐标,则得到关于m的方程,由此可判断结论.
解:(1)∵抛物线与y轴交于(0,-3),与x轴交于B(3,0),A(-1,0),
∴当y>0时,x的取值范围为x>3或x<-1.
故答案为:或.
(2)将代入抛物线:中,
∴16-8-3=m,
∴,
∴,
设直线PC的解析式为y=kx+b,
∴ ,
解得
∴直线PC的解析式为y=2x-3
当y=0时,x= ,
∴直线:,则直线与轴的交点为,
∴DB=
∴.
(3)依题意得抛物线:,设,抛物线:上存在点,则点关于点成中心对称的点的坐标为,
当在抛物线:上,
∴,
∴得到关于的一元二次方程,
∴,
∵,
∴,
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
∴抛物线上存在点,点关于点的中心对称点也在抛物线上
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【题目】连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线.
(1)
对角线条数分别为 、 、 、 .
(2)n边形可以有20条对角线吗?如果可以,求边数n的值;如果不可以,请说明理由.
(3)若一个n边形的内角和为1800°,求它对角线的条数.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,D是AB上一动点,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF的最小值是___.
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【题目】二次函数(是常数,)的自变量与函数值的部分对应值如下表:
… | 0 | 1 | 2 | … | |||
… | … |
且当时,与其对应的函数值.有下列结论:①;②和3是关于的方程的两个根;③.其中,正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣3,2),B(﹣1,4),C(0,2).
(1)请画出△ABC关于点O的对称图形△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2并求出在旋转过程中点B所经过的圆弧长.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c中的y与x的部分对应值如下表:
x | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣3 | 1 | 3 | 1 |
下列结论中:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=3,其中正确的结论有( )
A.①②③B.①②③④⑤C.①③⑤D.①③④⑤
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【题目】如图,RT△ABC中,,. 动点同时分别从点出发,分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动,连接,以为直径作交射线于点,连接,设运动的时间为.
(1)当点在线段上时,用关于的代数式表示________,________. (直接写出结果)
(2)在整个运动过程中,当为何值时,以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?求P坐标及最大面积是多少?
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,直接写出M的坐标.
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