Question

（任选做一题）
（1）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点．求证：AE•OB=OE•CB；

（2）已知如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE=EC，ED延长线交AB的延长线于点F．
求证：①△DBF∽△ADF；②

AB

AC

=

DF

AF

．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质可知AD∥BC，再根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得出△AOE∽△COB，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答；
（2）①根据AD⊥BC，可知△ACD是直角三角形，再根据AE=CE可知DE是△ACD斜边的中线，故DE=CE，∠C=∠EDC，再根据对顶角相等可知∠BDF=∠C，再由直角三角形两锐角互余可知∠BAD=∠C，进而可求出△DBF∽△ADF；
②先求出Rt△ABD∽Rt△CAD，根据相似三角形的对应边成比例可知

AB

AC

=

BD

AD

，再由①中所求△DBF∽△ADF可知

BD

AD

=

DF

AF

，通过等量代换即可得出结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠ACB，∠AEO=∠EBC，
∴△AOE∽△COB，
∴

AE

BC

=

OE

OB

，即AE•OB=OE•CB；

（2）①∵AD⊥BC，
∴△ACD是直角三角形，
∵AE=CE，
∴DE是△ACD斜边的中线，
∴DE=CE，∠C=∠EDC，
∴∠BDF=∠C，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠F=∠F，
∴△DBF∽△ADF；
②在Rt△ABD与Rt△CAD中，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴

AB

AC

=

BD

AD

，
∵由①可知△DBF∽△ADF，
∴

BD

AD

=

DF

AF

，
∴

AB

AC

=

DF

AF

．

点评：本题涉及到平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，涉及面较广，但难易适中．