Question

已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：几何综合题

分析：（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE-CE即可得出结论．

解答：（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE，即AC=BD；

（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE=

OC2-OE2

=

82-62

=2

7

，AE=

OA2-OE2

=

102-62

=8，
∴AC=AE-CE=8-2

7

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．