Question

7．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）过P作PE⊥AB，设CP=2t，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可；
（2）分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t=3（s），若点P在AB上，则t=5.4s；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，易得t=$\frac{13}{2}$（s）；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，则AP=AB-BP=2，易得t=6（s）；
（3）分两种情况讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3+3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6，分别求得t的值即可．

解答 解：（1）如图1，过P作PE⊥AB，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴CP=EP，
∴△ACP≌△AEP（HL），
∴AC=4cm=AE，BE=5-4=1，
设CP=x，则BP=3-x，PE=x，
∴Rt△BEP中，BE²+PE²=BP²，
即1²+x²=（3-x）²
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴BP=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴CA+AB+BP=4+5+$\frac{5}{3}$=$\frac{32}{3}$，
∴t=$\frac{32}{3}$÷1=$\frac{32}{3}$（s）；

（2）如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，
若点P在CA上，则1t=3，
解得t=3（s）；
如图3，当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=2，
∴t=（4+2）÷1=6（s）；
如图4，若点P在AB上，CP=CB=3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD=$\frac{12}{5}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=$\frac{9}{5}$，
∴PB=2BD=$\frac{18}{5}$
∴CA+AP=4+5-$\frac{18}{5}$=5.4，
此时t=5.4÷1=5.4（s）；
如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD=CD，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴t=（4+$\frac{5}{2}$）÷1=$\frac{13}{2}$（s）；
综上所述，t为3s或5.4s或6s或$\frac{13}{2}$s时，△BCP为等腰三角形；

（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t-3+3=6，
∴t=2（s）；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-4，AQ=2t-8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-4+2t-8=6，
∴t=6（s）；
综上所述，当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形．