Question

17．已知两直线y₁=kx+k-1、y₂=（k+1）x+k（k为正整数），设这两条直线与x轴所围成的三角形的面积为S_k，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₃的值是$\frac{2013}{4028}$．

Answer 1

分析 方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=kx+k-1}\\{{y}_{2}=（k+1）x+k}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，直线y₁=kx+k-1与x轴的交点为（$\frac{1-k}{k}$，0），y²=（k+1）x+k与x轴的交点为（ $\frac{-k}{k+1}$，0），先计算出S_K的面积，再依据规律求解．

解答 解：∵方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=kx+k-1}\\{{y}_{2}=（k+1）x+k}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴两直线的交点是（-1，-1），
∵直线y₁=kx+k-1与x轴的交点为（$\frac{1-k}{k}$，0），y₂=（k+1）x+k与x轴的交点为（ $\frac{-k}{k+1}$，0），
∴S_k=$\frac{1}{2}$×|-1|×|$\frac{1-k}{k}$-$\frac{-k}{k+1}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$|，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2014}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2013}{2014}$=$\frac{2013}{4028}$．
故答案为：$\frac{2013}{4028}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．