Question

在平面直角坐标系x0y中，已知二次函数y=a（x-1）²+k的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S_△EAP=3S_△EMN，求点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C作直线l与新抛物线交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）二次函数y=a（x-1）²+k的对称轴为直线x=1，
又∵AB=4，
∴点A到y轴的距离为×4-1=1，
∴点A的坐标是（-1，0），
∵tan∠ABE=2，
∴×4×tan∠ABE=2×2=4，
∴点E的纵坐标为4，
∴顶点E的坐标为（1，4），
∴k=4，
∵点A（-1，0）在二次函数y=a（x-1）²+k的图象上，
∴a（-1-1）²+4=0，
解得a=-1，
故二次函数的表达式为y=-（x-1）²+4；

（2）如图1，∵A（-1，0），E（1，4），
∴点M是AE的中点，且M（0，2），
根据等底等高的三角形的面积相等可得，S_△AMN=S_△EMN，
又∵S_△EAP=3S_△EMN，
∴S_△AMN=S_△APN，
根据等底等高的三角形的面积相等可得点P的纵坐标为-2，
∴-（x-1）²+4=-2，
解得x₁=1+，x₂=1-（舍去），
故点P的坐标是（1+，-2）；

（3）存在．
理由如下：如图2，令x=0，-（0-1）²+4=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
根据翻折的性质，抛物线y=-（x-1）²+4沿y轴翻折得到的新抛物线为y=-（x+1）²+4，
∵A点的对应点为点F，
∴点F的坐标为（1，0），
又∵E（1，4），
∴EF⊥x轴，
设直线l的解析式为y=kx+3，
联立，
解得（为点C，舍去），，
∴点N坐标为（2-k，-k²+2k+3），
联立，
解得（为点C，舍去），，
∴点M的坐标为（-2-k，-k²-2k+3），
过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，
∵△FMN的内心在直线EF上，
∴EF是∠MFN的平分线，
∴∠MFG=∠NFH，
又∵∠MGF=∠NHF=90°，
∴△MGF∽△NHF，
∴=，
即=，
整理得，k²-2k-3=-（k²-2k+1），
即k²-2k-1=0，
解得k₁=1+，k₂=1-，
∵点M（-2-k，-k²-2k+3）在y轴的右侧，点N（2-k，-k²+2k+3）在对称轴直线x=1的右边，
∴，
解得-2＜k＜1，
∴k=1-，
故直线EF的解析式为y=（1-）x+3．
分析：（1）根据二次函数解析式确定出对称轴为直线x=1，再根据AB的长度确定出点A的坐标，再根据tan∠ABE=2求出顶点E的纵坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据点A、E的坐标确定出点M是AE的中点，然后根据等底等高的三角形的面积相等，再根据等底等高的三角形的面积相等可得点P的纵坐标为-2，然后代入抛物线解析式求出横坐标的长度，从而得解；
（3）求出点C的坐标（0，3），再根据对称性求出新抛物线的解析式，然后设直线l的解析式为y=kx+3，再与两抛物线上解析式联立求解得到点M、N的坐标，过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，再根据点F的坐标判断出EF⊥x轴，然后根据△FMN的内心在直线EF上，则EF是∠MFN的平分线，从而得到∠MFG=∠NFH，再根据△MGF和△NHF相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出k值，从而得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等底等高的三角形的面积相等，二次函数的对称性，联立两函数解析式求交点坐标，相似三角形的判定与性质，三角形的内心是角平分线的交点，综合性较强，难度较大，（3）用k表示出点M、N的坐标，从而得到两相似三角形的边长是解题的关键．