Question

【题目】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是_________（填序号）．

Answer 1

【答案】②③④．

【解析】

①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确；

②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF；

③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可；

④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立．

如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误；

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，DE=DF，

∴AE+DF=AF+DE，故④正确；

∵在△AEO和△AFO中，

，

∴△AEO≌△AFO（SAS），

∴EO=FO，

又∵AE=AF，

∴AO是EF的中垂线，

∴AD⊥EF，故②正确；

∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，

∴四边形AEDF是矩形，

又∵DE=DF，

∴四边形AEDF是正方形，故③正确．

综上可得：正确的是：②③④，

故答案为：②③④．