Question

13．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB和AD上的两个动点．
（1）当点E、F分别为AB，AD的中点时，图中有哪些三角形面积相等？
（2）若四边形AENF为40平方厘米，三角形BEM面积为20平方厘米，三角形DFP面积为16平方厘米时，求阴影部分面积．
（3）若DF为AF的$\frac{1}{2}$，且满足PC是PF的5倍，求PE与PD的比值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质，相似三角形的性质以及等底等高的三角形面积相等，进行判断即可得出面积相等的三角形；
（2）先设△FPN的面积为a，△EMN的面积为b，△BCM的面积为c，△CDP的面积为d，阴影部分面积为s，根据△ADE的面积+△BCE的面积=△CDE的面积，△ABF的面积+△CDF的面积=△BCF的面积，列出等式40+a+16+20+c=b+s+d，40+b+20+16+d=a+s+c，即可求得s的值；
（3）根据DF为AF的$\frac{1}{2}$，且PC是PF的5倍，得出DF：AF=1：2，并设CP=5k，FP=k，则CF=6k，再根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求得PE：PD=PG：PC=（12k+k）：5k=13：5，即可得出PE与PD的比值．

解答 解：（1）如图1，当点E、F分别为AB，AD的中点时，
△ABF的面积=△CDF的面积=△ADE的面积=△BCE的面积=平行四边形ABCD面积的$\frac{1}{4}$，
△BCF的面积=△CDE的面积=平行四边形ABCD面积的$\frac{1}{2}$，
如图所示，延长BA，CF交于点G，
当点E、F分别为AB，AD的中点时，△AFG≌△DFC，故CF=GF，
由CD∥GE可得，△GEP∽△CDP，故CP：GP=2：3，
∴CP：PF=4：1，
同理可得CM：ME=4：1，
∴△CPD的面积=△CDF面积的$\frac{4}{5}$=△BCE面积的$\frac{4}{5}$=△BCM的面积，
∴△FPD的面积=△CDF面积的$\frac{1}{5}$=△BCE面积的$\frac{1}{5}$=△BEM的面积，
又∵△ABF的面积=△ADE的面积，
∴△BEN的面积=△DFN的面积，
∴△MEN的面积=△PFN的面积；

（2）如图2，设△FPN的面积为a，△EMN的面积为b，△BCM的面积为c，△CDP的面积为d，阴影部分面积为s，则由（1）可得
△ADE的面积+△BCE的面积=△CDE的面积，
△ABF的面积+△CDF的面积=△BCF的面积，
即40+a+16+20+c=b+s+d，①
40+b+20+16+d=a+s+c，②
由①+②，可得76=2s，
∴s=38，
即阴影部分面积为38；

（3）如图1，延长BA，CF交于点G，
∵DF为AF的$\frac{1}{2}$，且PC是PF的5倍，
∴DF：AF=1：2，
设CP=5k，FP=k，则CF=6k，
∵CD∥AG，
∴CF：GF=DF：AF，
即6k：GF=1：2，
∴GF=12k，
∵CD∥EG，
∴PE：PD=PG：PC=（12k+k）：5k=13：5，
∴PE与PD的比值为$\frac{13}{5}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是掌握平行四边形是中心对称图形，并运用相似三角形的对应边成比例得出线段的比值．