Question

5．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．
（1）求证：BA=BC；
（2）若AG=2，cosB=$\frac{3}{5}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，根据切线的性质得OD⊥DF，而DF⊥BC，根据平行线的判定得到OD∥BC，然后利用平行线的性质和等量代换可得∠OAD=∠C，则根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，由平行线的性质得cos∠DOG=cosB=$\frac{3}{5}$，则在Rt△ODG中利用余弦可计算出r=3，再在Rt△ODH中利用余弦可求出OH=$\frac{9}{5}$，则AH=$\frac{6}{5}$，利用勾股定理可计算出AD，然后证明DE=AD即可．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵DF为切线，
∴OD⊥DF，
∵DF⊥BC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠C，
而OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠C，
∴BA=BC；
（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵OD∥BC，
∴∠B=∠DOG，
∴cos∠DOG=cosB=$\frac{3}{5}$，
在Rt△ODG中，∵cos∠DOG=$\frac{OD}{OG}$，即$\frac{r}{r+2}$=$\frac{3}{5}$，
∴r=3，
在Rt△ODH中，∵cos∠DOH=$\frac{OH}{OD}$=$\frac{3}{5}$，
∴OH=$\frac{9}{5}$，
∴AH=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△ADH中，AD=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
而OA=OB，OD∥BC，
∴AD=CD，
∴DE=AD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决（2）小题的关键是利用三角函数的定义和勾股定理求出圆的半径和AD的长，再证明DE=AD．