Question

11．如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在函数$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁ A₂，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜边OA₁，A₁A₂，A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P_n的坐标是（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）；（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得出x₁=y₁，x₂=2x₁+y₂，x₃=2x₁+2x₂+y₃，…，再由点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在函数$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，可得出x₁•y₁=x₂•y₂=x₃•y₃=…=x_n•y_n=1，从而得出y_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，由x_n•y_n=1即可得出点P_n的坐标．

解答 解：∵△P₁OA₁，△P₂A₁ A₂，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，
∴x₁=y₁，x₂=2x₁+y₂，x₃=2x₁+2x₂+y₃，…，
∴x_n=2（x₁+x₂+…+x_n-1）+y_n．
∵点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在函数$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，
∴x₁•y₁=x₂•y₂=x₃•y₃=…=x_n•y_n=1．
∴x₁=y₁=1，y₂=$\sqrt{2}$-1，y₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，…，y_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（n是大于或等于2的正整数），
∴x_n=$\frac{1}{{y}_{n}}$=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$（n是大于或等于2的正整数）．
∴点P_n的坐标是（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．
故答案为：（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是求出y_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，找出点P_n纵坐标的变化规律是关键．