Question

6．如图．己知△ABC中．∠C=90°，AC=3，BC=4．动点D在边BC上．以AD为边作正方形ADEF．在点D从点C移动至点B的过程中．点E移动的路线长为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图在CB上取一点M，使得CM=AC=3，连接AM、EM、AE．只要证明△ACD∽△AME，可得∠AME=∠ACD=90°，推出EM⊥AM，推出点E的运动轨迹在扇形ME上，当点D与B重合时，△ACB∽△AME，可得$\frac{BC}{ME}$=$\frac{AC}{AM}$，由此求出ME即可．

解答 解：如图在CB上取一点M，使得CM=AC=3，连接AM、EM、AE．
∵∠EAD=∠MAC=45°，
∴∠EAM=∠DAC，
∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{AM}$=$\frac{AC}{AM}$，
∴△ACD∽△AME，
∴∠AME=∠ACD=90°，
∴EM⊥AM，
∴点E的运动轨迹在扇形ME上，
当点D与B重合时，△ACB∽△AME，
∴$\frac{BC}{ME}$=$\frac{AC}{AM}$，
∴$\frac{4}{ME}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
∴ME=4$\sqrt{2}$，
∴点E移动的路线长为4$\sqrt{2}$，
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轨迹、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．