Question

如图：已知点C是线段AB上的点，△ACD与△BCE都是正三角形，F、G、M、N分别是线段AC、CE、CD、CB的中点，
求证：FG=MN．

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质以及等量代换可知∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，再根据全等三角形的判定即可证明△ACE≌△DCB，可知AE=BD，再根据中点的定义即可证明FG=MN．

解答：证明：∵△ACD与△BCE都是正三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，
又∵F、G、M、N分别是线段AC、CE、CD、CB的中点，
∴FG是△ACE的中位线，MN是△DCB的中位线，
∴FG=

1

2

AE，MN=

1

2

BD，
∴FG=MN．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的中位线定理，比较综合，难度适中．