Question

如图，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AB=1cm，过B作BG∥AC，过A作AE∥CG，且∠ACG：∠G=5：1，以下结论：①AE=cm；②四边形AEGC是菱形；③S_△BDC=S_△AEC；④CE=cm；⑤△CFE为等腰三角形，其中正确的有

1. A.
   ①③⑤
2. B.
   ②③⑤
3. C.
   ②④⑤
4. D.
   ①②④

Answer 1

B
分析：过C作AM垂直于BG，交BG于M，由已知的两组对边平行得到四边形AECG为平行四边形，可得一对同旁内角互补，再由已知的两角之比，分别求出两个角，得到∠ACG为150°，∠G为30°，在直角三角形CGM中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到CM为CG的一半，又正方形ABCD，得到三角形ABC为等腰直角三角形，O为AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OB等于AC的一半，根据平行线间的距离相等得到CM=OB，利用等量代换可得AC=CG，利用邻边相等的平行四边形为菱形可得AECG为菱形，故选项②正确；由正方形的边长，利用勾股定理求出AC的长，即为菱形的边长，可得AE的长，对选项①作出判断；由正方形ABCD得到四条边相等，四个角为直角，可得三角形ABC与三角形BCD全等，可得两三角形的面积相等，又根据平行线间的距离相等，得到三角形ABC与三角形AEC中AC边上的高相等，得到这两个三角形的面积公式，等量代换可得三角形BCD与三角形ACE的面积相等，选项③正确；根据菱形的对角线平分一组对角，得到∠CEF的度数，再由∠CFE为三角形ACF的外角，利用外角性质求出∠CFE的度数，发现∠CEF=CFE，利用等角对等边可得三角形CEF为等腰三角形，选项⑤；假设CE为cm，在直角三角形CMG中，由斜边CG的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CM的长，发现直角三角形CEM中，斜边CE小于直角边CM，矛盾，故假设错误，选项④错误．
解答：过C作CM⊥EG于M，
∵BG∥AC，AE∥CG，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴∠ACG+∠G=180°，又∠ACG：∠G=5：1，
∴∠G=×180°=30°，∠ACG=×180°=150°．
在直角三角形CGM中，∠G=30°，
∴CM=CG，
又四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AC与BD互相平分，
在直角三角形ABC中，BO为斜边AC的中点，
∴BO=AC，
∵AC∥BG，
∴CM=OB，
∴CG=AC，
∴四边形AEGC为菱形，选项②正确；
∵CD=AB，BC=CB，∠BCD=∠ABC=90°，
∴△BDC≌△ABC（SAS），
∴S_△BDC=S_△ABC，
又根据平行线间的距离相等，底边都为AC，
∴S_△ABC=S_△ACE，
∴S_△BDC=S_△ACE，选项③正确；
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=1cm，
∴根据勾股定理得：AC=cm，
又四边形AECG为菱形，∴AE=AC=cm，选项①错误；
在直角三角形CGM中，∠G=30°，
∴CM=CG=cm，
若CE=cm，＜，斜边小于直角边，矛盾，
则CE≠cm，选项④错误；
∵四边形AECG为菱形，∠ACG=∠AEG=150°，
∴EC平分∠AEG，即∠AEC=∠AEG=75°，
∵∠CFE为△ACF的外角，且∠CAE=∠G=30°，∠ACB=45°，
∴∠CFE=∠CAE+∠ACB=75°，
∴∠AEC=∠CFE=75°，
∴CE=CF，即△CEF为等腰三角形，选项⑤正确，
则正确的选项有②③⑤．
故答案为：②③⑤．
点评：此题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，是一道综合性较强的题．