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    4．已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，AE⊥BD，垂足为E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．
    （1）AE的长为4，BE的长为3；
    （2）如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′．
    ①在旋转过程中，当A′F′与AE垂直于点H，如图3，设BA′所在直线交AD于点M，请求出DM的长；
    ②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为以PQ为底的等腰三角形？请直接写出DQ的长．

    分析 （1）由勾股定理求得BD的长，根据三角形面积公式求出AE的长，再应用勾股定理即可求得BE的长．
    （2）①先用tan∠ADB=$\frac{MG}{DG}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{4}$，设出MG，表示出DG，DM，求出BG=BD-DG=$\frac{25}{3}$-4x，再用tan∠MBD=$\frac{A′N}{BN}=\frac{MG}{BG}$，建立方程求出x，即可；
    ②分DP=DQ（考虑点Q在线段BD的延长线和点Q在线段BD上两种情况），PD=PQ两种情况求解即可．

    解答 解：（1）∵AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，
    ∴由勾股定理得BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
    ∵S△ABD=$\frac{1}{2}$AB×AD=$\frac{1}{2}$BD×AE，
    ∴$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{3}$×AE，
    ∴AE=4．
    ∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
    故答案为4，3；
    （2）①作MG⊥BD，A′N⊥BD，
    ∴tan∠ADB=$\frac{MG}{DG}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
    设MG=3x，则DG=4x，DM=5x，
    ∴BG=BD-DG=$\frac{25}{3}$-4x，
    ∵A′F′⊥AE，AE⊥BD，A′N⊥BD，A′F′⊥BF′，
    ∴四边形BF′A′N是矩形，
    ∴A′N=BF′=3，BN=A′F′=AE=4，
    ∵tan∠MBD=$\frac{A′N}{BN}=\frac{MG}{BG}$，
    ∴$\frac{3}{4}=\frac{3x}{\frac{25}{3}-4x}$，
    ∴x=$\frac{25}{24}$，
    ∴DM=5x=$\frac{125}{24}$；
    ②存在，理由如下：
    ∵△DPQ为以PQ为底的等腰三角形
    ∴DP=DQ，
    若点Q在线段BD的延长线上时，如图1，

    有∠Q=∠1，则∠2=∠1+∠Q=2∠Q．
    ∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，
    ∴∠4+∠Q=2∠Q．
    ∴∠4=∠Q．
    ∴A′Q=A′B=5．
    ∴F′Q=A′F′+A′Q=4+5=9．
    在Rt△BF′Q中，81+9=（$\frac{25}{3}$+DQ）2
    ∴DQ=3$\sqrt{10}$-$\frac{25}{3}$或DQ=-3$\sqrt{10}$-$\frac{25}{3}$（舍去）．
    若点Q在线段BD上时，如图2，

    有∠QPD=∠PQD=∠BQA′，
    ∵∠DPQ=∠BMQ，
    ∴∠BMQ=∠BQM．
    ∵∠BMQ=∠A′BM+∠A′，∠A′=∠CBD，
    ∴∠BMQ=∠A′BM+∠CBD=∠A′BQ．
    ∴∠BQM=∠∠A′BQ．
    ∴A′Q=A′B=5．
    ∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．
    ∴BQ=$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$
    ∴DQ=BD-BQ=$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$
    综上所述，当△DPQ为等腰三角形时，DQ的长为DQ=3$\sqrt{10}$-$\frac{25}{3}$，DQ=$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，解本题的关键是勾股定理的运用，难点是分情况求DQ．

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    ∵AC∥DE（已知）
    ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
    故∠2=∠3（等量代换）
    ∵DF∥AE（已知）
    ∴∠2=∠5，（两直线平行，同位角相等）
    ∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
    ∴∠4=∠5（等量代换）
    ∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）

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    （1）情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1 所示；
    情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP＜AB时，请依题意补全图2；．
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    ①求证：∠ACP=∠DPB；
    ②用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并证明．

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    13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE∥BC交AD于点E，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C，当∠ACE=∠BCB′时，则AE=$\frac{64}{25}$．

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