Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=36°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA=128°时，∠EDC=　　　　，∠AED=　　　　；

（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）16°；52°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析；（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案；

（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝144°，∠ADB+∠EDC＝144°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE；

（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．

（1）∵AB=AC，∴∠C=∠B=36°．

∵∠ADE=36°，∠BDA=128°．

∵∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=16°，

∴∠AED=∠EDC+∠C=16°+36°=52°．

故答案为：16°；52°；

（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，

理由：∵AB=2，DC=2，

∴AB=DC．

∵∠C=36°，

∴∠DEC+∠EDC=144°．

∵∠ADE=36°，

∴∠ADB+∠EDC=144°，

∴∠ADB=∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE(AAS)；

（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，

①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=72°，

∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=108°；

②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=36°，

∴∠DAE=108°，

此时，点D与点B重合，不合题意；

③当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=36°，

∴∠BDA=∠EAD+∠C=36°+36°=72°；

综上所述：当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．