Question

如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度数；
（2）在MN上是否存在一点D，使AB•CD=AC•BC，为什么？

Answer 1

解：（1）∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=62°，
∵直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，
∴∠ACM=∠B=62°；

（2）存在符合条件的点D，使AB•CD=AC•BC，
①过A作AD⊥MN于D，则AB•CD=AC•BC，
证明：∵MN是半圆的切线，且切点为C，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
即AB•CD=AC•BC；
②过B作BD⊥MN于D，则AB•CD=AC•BC，
证明过程同①，
因此MN上存在至少一点D，使AB•CD=AC•BC．
分析：（1）求∠ACM的度数，需求出∠B的度数；在Rt△ABC中，已知∠A的度数，即可求出∠B、∠ACM的度数；
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式：
①，此时需证Rt△ABC∽Rt△CBD，那么过B作MN的垂线，那么垂足即为符合条件的D点；
②，此时需证Rt△ABC∽Rt△ACD，则过A作MN的垂线，垂足也符合D点的条件．
两者的证明过程一致，都是通过弦切角得出一组对应角相等，再加上一组直角得出三角形相似．
点评：本题考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性质，要求学生能够熟练掌握相似的判断和性质并应用．