Question

【题目】设k≠0，若函数y1＝kx+3，y2＝（x﹣k）2+k和y3＝（x+k）2﹣k的图象与y轴依次交于A，B和C三点，设函数y2，y3的图象的顶点分别为D，E．

（1）当k＝1时，请在直角坐标系中，分别画出函数y1，y2，y3的草图，并根据图象，写出你发现的两条结论；

（2）BC长与k之间是正比例函数关系吗？请作出判断，并说明理由；

（3）若△ADE的面积等于9，求y2随x的增大而减小时，x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之间是正比例函数关系，见解析；（3）x≤3．

【解析】

（1）当k=1时，分别求出它们的解析式，画出图象；
（2）求出B与C的坐标，求出BC=2k，可知BC与k是正比例函数；
（3）构造矩形求△BDE的面积，利用面积求k的值，进而求出y2的函数解析式，从而求解．

解：（1）当k＝1时，y1＝x+3，y2＝（x﹣1）2+1和y3＝（x+1）2﹣1．

如图，

直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；

（2）B（0，k2+k），C（0，k2﹣k），

∴BC＝（k2+k）﹣（k2﹣k）＝2k，

∴BC长与k之间是正比例函数关系；

（3）由表达式可知：D（k，k），E（﹣k，﹣k），

过D，E分别向x轴作垂线，过A，E分别向y轴作垂线，交点为O，P，E，N，

则由OPEN构造长方形，

∴S△ADE＝SPONE﹣S△APE﹣S△AOD﹣S△EDN＝2k（3+k）﹣k（3+k）﹣2k2k﹣k（3﹣k）＝3k，

∵△ADE的面积等于9，

∴3k＝9，

∴k＝3，

∴y2＝（x﹣k）2+k＝（x﹣3）2+3，

∴对称轴是x＝3，

当y2随x的增大而减小时，x≤3．

故答案为：（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之间是正比例函数关系，见解析；（3）x≤3．