【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点,点为抛物线的顶点,轴于点,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)做点与点关于对称轴对称,连接,过点作,过点作,与相交于点,若,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,点是第一象限内抛物线上一点,连接与相交于点,过点做轴于点,与相交于,连接,若,求点的坐标和的值.
【答案】(1);(2);(3),
【解析】
(1)首先根据抛物线解析式变换形式得出A、B两点坐标,进而得出DE,再转换成顶点式,即可得出抛物线解析式;
(2)根据对称以及矩形的性质,通过等量互换,即可判定,进而得出F点坐标;
(3)首先通过等角互换得出,然后利用坐标构建方程即可得出点P坐标,再利用三角函数进行转化即可得出的值.
(1)∵,令
解得,,
∴
∵,
∴,
,
∴,
解得
∴;
(2)过作轴于,
∵、关于对称,
∴,
∵四边形为矩形,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,,
∴,
∴.
∴;
(3)∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
作交于,则
∴,
∴,
设,则,,
∴,
设,则,
,
∵,
∴
∴,(舍去)
∴
中:
,
∵,
∴
中:,,
,
作于,中:,,
,,
中:
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【题目】已知关于x的方程ax2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)若此方程的一个实数根为1,求a的值及方程的另一个实数根.
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【题目】如图,矩形ABCD中,E为DC的中点,AD:AB=:2,CP:BP=1:2,连接EP并延长,交AB的延长线于点F,AP、BE相交于点O.下列结论:①EP平分∠CEB;②=PBEF;③PFEF=2;④EFEP=4AOPO.其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ③④
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【题目】“天空之城”摩天轮,位于宁波市杭州湾新区欢乐世界.摩天轮高约126米(最高点到地面的距离).如图,点O是摩天轮的圆心,AB是其垂直于地面的直径,小明在地面C处用测角仪测得摩天轮最高点A的仰角为45°,测得圆心O的仰角为30°,求摩天轮的半径.(结果保留根号)
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【题目】如图,在菱形中,,,点,同时由,两点出发,分别沿,方向向点匀速运动,点的运动速度为,点的运动速度为,点到达点后,点与点同时停止运动.若运动时间为秒时,为等边三角形,则的值为__________.
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【题目】为了解某校初二学生每周上网的时间,两位学生进行了抽样调查.小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间;小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生,调查了每周上网的时间.小丽与小杰整理各自样本数据,如下表所示:
时间段 (小时/周) | 小丽抽样 人数 | 小杰抽样 人数 |
0~1 | 6 | 22 |
1~2 | 10 | 10 |
2~3 | 16 | 6 |
3~4 | 8 | 2 |
(每组可含最低值,不含最高值)
(1)你认为哪位同学抽取的样本不合理?请说明理由;
(2)根据合理抽取的样本,把上图中的频数分布直方图补画完整;
(3)专家建议每周上网2小时以上(含2小时)的同学应适当减少上网的时间,估计该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间?
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【题目】平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是为(0,3)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:点M在何处时;△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点(1,﹣4)和(﹣1,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)x在什么范围内,y随x增大而减小?该函数有最大值还是有最小值?求出这个最值.
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