分析 (1)连接OE交DF于G,首先证明四边形EGFC是矩形,再根据垂径定理即可证明.
(2)设OE=x,由OE∥BC,得△AOE∽△ABC,得$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$,列出方程求出x,再在Rt△BDF中,由sinB=$\frac{4}{5}$,推出cosB=$\frac{3}{5}$=$\frac{BF}{BD}$,即可解决问题.
解答 (1)证明:连接OE交DF于G,
∵AC切⊙O于E,
∴∠CEO=90°.
又∵BD为⊙O的直径,
∴∠DFC=∠DFB=90°.
∵∠C=90°,
∴四边形CEGF为矩形.
∴CE=GF,∠EGF=90°,
∴DF=2CE.
(2)解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,BC=3,$sinB=\frac{4}{5}$,
∴AB=5,
设OE=x,∵OE∥BC,
∴△AOE∽△ABC.
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$,
∴$\frac{x}{3}=\frac{5-x}{5}$,
∴$x=\frac{15}{8}$,
∴BD=$\frac{15}{4}$.
在Rt△BDF中,∵∠DFB=90°,sinB=$\frac{4}{5}$,
∴cosB=$\frac{3}{5}$=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BF}{\frac{15}{4}}$,
∴BF=$\frac{9}{4}$.
点评 本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理、三角函数等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于中考常考题型.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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