Question

如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
①求证：△ADE∽△BCE；
②如果AD²=AE•AC，求证：CD=CB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：①根据圆周角定理求出∠A=∠B，根据相似三角形的判定推出即可；
②证△ADE∽△ACD，推出∠AED=∠ADC=90°，根据垂径定理推出即可．

解答：证明：①∵弧CD=弧CD，
∴∠A=∠B，
 又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；

②∵AD²=AE•AC，
∴

AE

AD

=

AD

AC

，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即有∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴CD=CB．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，垂径定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．