Question

12．max{a，b，c…}表示一列数中最大的数，如：max{-1，2}=2，max{4，-3，a}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥4}\\{4，a＜4}\end{array}\right.$，给出下列结论：①max{tan60°，cos45°}=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；②若max{2x-5，3，7-4x}=3，则x的取值范围是1≤x≤4；③若max{a，b，c}=$\frac{a+b+c}{3}$，则a=b=c；④若max{2x-y+2，-x+2y，-x-y+1}=1，则x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．其中正确的结论有②③④（填上所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 ①只需比较tan60°与cos45°大小就可解决问题；
②由max{2x-5，3，7-4x}=3可得2x-5≤3且7-4x≤3，由此即可得到x的取值范围；
③不妨设a≤b≤c，由题可得c=$\frac{a+b+c}{3}$，则有a+b=2c，由a≤b≤c可得a+b≤2c，当且仅当a=b=c成立；
④可分三种情况（①2x-y+2最大，②-x+2y最大，③-x-y+1最大）讨论，即可解决问题．

解答 解：①∵tan60°=$\sqrt{3}$，cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴max{tan60°，cos45°}=$\sqrt{3}$，故①错误；
②∵max{2x-5，3，7-4x}=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-5≤3}\\{7-4x≤3}\end{array}\right.$，
解得：1≤x≤4，故②正确；
③不妨设a≤b≤c，
∵max{a，b，c}=$\frac{a+b+c}{3}$，
∴c=$\frac{a+b+c}{3}$，
∴a+b=2c．
∵a≤b≤c，
∴a≤c，b≤c，
∴a+b≤2c，
当且仅当a=c且b=c时，a+b=2c，故③正确；
④当2x-y+2最大时，
∵max{2x-y+2，-x+2y，-x-y+1}=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=1}\\{2x-y+2≥-x+2y}\\{2x-y+2≥-x-y+1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{3x-3y+2≥0}\\{x≥-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
把y=2x+1代入3x-3y+2≥0，得x≤-$\frac{1}{3}$．
又∵x≥-$\frac{1}{3}$，
∴x=-$\frac{1}{3}$，
∴y=2×（-$\frac{1}{3}$）+1=$\frac{1}{3}$．
同理：当-x+2y最大时，x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$；
当-x-y+1最大时，x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
故④正确．
故答案为②③④．

点评 本题属于新定义型，主要考查了特殊角的三角函数值、解一元一次不等式组、不等式的性质等知识，运用不等式的性质是解决第③小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第④小题的关键．