Question

16．如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B为（2，4），反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象经过AB的中点D，且与BC交于点E．
（1）求m的值和点E的坐标；
（2）求△DOE的面积；
（3）点Q为x轴上一点，点P为反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象上一点，是否存在点P、Q，使得四边形PQDE为平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质以及点B为（2，4），求得D的坐标，代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$中，即可求得m的值，令x=4，即可求得E的坐标；
（2）依据D、E的坐标联立方程，应用待定系数法即可求得；
（3）根据题意列出方程，解方程即可求得P的纵坐标．

解答 解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B为（2，4），
∴AB=2，BC=4，
∵D是AB的中点，
∴D（1，4），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象经过AB的中点D，
∴4=$\frac{m}{1}$，m=4，
∴反比例函数为y=$\frac{4}{x}$，
令x=2，则y=2，
∴E的坐标（2，2）；

（2）∵D（1，4），E（2，1），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-2x+6；

（3）存在；
∵D（1，4），E（2，2），四边形PQDE为平行四边形，
∴PQ∥DE，且PQ=DE，
∴Q的纵坐标为0，
∴P的纵坐标为±2，
令y=2，则2=$\frac{4}{x}$，解得x=2，
令y=-2，则-2=$\frac{4}{x}$，解得x=-2，
∵E（2，2），
∴P点的坐标为（-2，-2）；
故四边形PQDE为平行四边形的P点的坐标为（-2，-2）．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用以及平行四边形的性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．