Question

19．问题背景．在△ABC中，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算它的面积．
（1）请直接写出△ABC的面积$\frac{7}{2}$；
（2）我们把上述方法叫做构图法，若△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为$\sqrt{5a}$，$\sqrt{8a}$，$\sqrt{17a}$，请你在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出相应的△ABC．并求其面积．

Answer 1

分析 （1）用长宽均为3的矩形面积减去三个直角三角形面积可得；
（2）由勾股定理得出$\sqrt{5a}$、$\sqrt{8a}$、$\sqrt{17a}$即可画出图形，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得出所求三角形的面积．

解答 解：（1）S_△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{7}{2}$；

（2）如图，
∵AB=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，BC=$\sqrt{（2a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，AC=$\sqrt{{a}^{2}+（4a）^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
∴△ABC即为所求作三角形，

则S_△ABC=2a•4a-$\frac{1}{2}$×a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$×a×4a=3a²．
故答案为：（1）$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，根据边长画出三角形是解决问题的关键．