Question

已知在直线y=x+4的同旁有两个点A（-5，4），B（-1，5）
（1）在直线y=x+4上是否存在一点P，使得点P到点A，点B的距离之和最短？若存在，求出点P坐标；若不存在说明理由．
（2）在第一象限是否存在一点C，使得以线段AB为腰，以直线y=x+4为对称轴的等腰梯形？若存在，求出梯形面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线y=x+4与x轴，y轴分别交于F，E点，得E（0，4），F（-4，0），则△EOF为等腰直角三角形，可推出点A关于直线l的对称点A′（0，-1），用待定系数法可求出直线A′B′的解析式，两式联立，即可求出点P的坐标；
（2）过点B作BN∥x轴，交y轴于G，且交直线l于N，连接BE并延长交过N且平行于y轴的直线于C，则△BGE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得点B，点C关于直线l对称，梯形ABC A′为关于直线l：y-x=4对称的等腰梯形，△AME为等腰直角三角形，求出AA′、BC、ME，解答出即可；

解答：解：（1）设直线y=x+4与x轴，y轴分别交于F，E点，过点A作直线l的垂线交y轴于A′，垂足为M，连接AE，
∵E（0，4），F（-4，0），
∴△EOF为等腰直角三角形，
∴∠OFE=∠OEF=45°，
∵A（-5，4），
∴AE∥x轴，
∴∠AEM=45°，
∴∠EAM=45°
∴∠EA′M=45°，
∴AE=EA′，
∴A′（0，-1），
AM=EM=M A′，
∴点A与点A′为关于直线l的对称点，
连接A′B交直线l于P点，即为所求，
设直线B A′的解析式为y=kx+b，
∵A′（0，-1），B（-1，5），
∴易求得直线B A′的解析式为yBA′=-6x-1，
∴

y=-6x-1   y=x+4

，
∴

x=- 5 7 y= 23 7

，
∴P（-

5

7

，

23

7

）；

（2）过点B作BN∥x轴，交y轴于G，且交直线l于N，连接BE并延长交过N且平行于y轴的直线于C，
∵E（0，4），B（-1，5），
∴BG=GE=1，
∴△BGE为等腰直角三角形，
∴∠GEB=45°，
∵∠GEN=45°，
∴∠BEN=90°，
∴∠GNE=∠ENC=∠NCE=45°，
∴BE=EN=EC，
∴点B，点C关于直线l对称，
∴梯形ABC A′为关于直线l：y-x=4对称的等腰梯形，
∵△AME为等腰直角三角形，AE=5，
∴EM=AM=

5

2

2

，
∴AA′=5

2

，
同理：BC=2

2

，
∴S梯形ABCA′=

35

2

．

点评：本题是一次函数综合题，用到的知识点由等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质和最短路程问题等，考查了学生综合运用知识解答的能力．