Question

12．如图，已知抛物线y=x²-2x的顶点为A，直线y=2x+b经过点A，且交y轴于点B，O为坐标原点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设直线y=2x+b与抛物线y=x²-2x的另一个交点为C，求△ACO的面积；
（3）设点P是抛物线y=x²-2x在第一象限内的一个动点，点Q是y轴正半轴上一个动点，若以点O，P，Q为顶点的三角形相似于△ABO．请求出符合条件的所有点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出点A坐标，再把点A代入y=2x+b，求出直线的解析式，即可解决问题，．
（2）利用方程组求出点C坐标，求出直线y=2x-3与x轴的解得E坐标，根据S_△ACO=S_△OEC+S_△OEA即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①如图2中，由∠COQ=∠AOB=45°，当$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OQ}{OB}$时，△COQ∽△AOB，$\frac{OQ}{3}$，当$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$时，△COQ∽△BOA．②如图3中，当∠POQ=∠ABO时，
当$\frac{AB}{OP}$=$\frac{OB}{OQ}$时，△ABO∽△POQ，当$\frac{AB}{OQ}$=$\frac{OB}{OP}$时，△ABO∽△QOP．分别解方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴顶点A坐标（1，-1），
∴直线y=2x+b经过点A（1，-1），
∴b=-3，
∴直线解析式为y=2x-3，
令x=0，则y=-3，
∴点B坐标（0，-3），
∴A（1，-1），B（0，-3）．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点C坐标（3，3），
∵直线y=2x-3与x轴交于点E（$\frac{3}{2}$，0），如图1中，

∴S_△ACO=S_△OEC+S_△OEA=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=3．

（3）①如图2中，∵∠COQ=∠AOB=45°，

当$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OQ}{OB}$时，△COQ∽△AOB，即$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{OQ}{3}$，OQ=9，
当$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$时，△COQ∽△BOA，即$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\frac{OQ}{\sqrt{2}}$．OQ=2，
∴点Q坐标为（0，9）或（0，2）．

②如图3中，当∠POQ=∠ABO时，

∵∠POQ=∠ABO，
∴OP∥BC，
∴直线OP的解析式为y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴点P（4，8），
∴OP=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
当$\frac{AB}{OP}$=$\frac{OB}{OQ}$时，△ABO∽△POQ，即$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{3}{OQ}$，OQ=12，
当$\frac{AB}{OQ}$=$\frac{OB}{OP}$时，△ABO∽△QOP，即$\frac{\sqrt{5}}{OQ}$=$\frac{3}{4\sqrt{5}}$，OQ=$\frac{20}{3}$．
∴点Q坐标（0，12）或（0，$\frac{20}{3}$）．
综上所述，当点Q坐标为（0，9）或（0，2）或（0，12）或（0，$\frac{20}{3}$）时，点O，P，Q为顶点的三角形相似于△ABO．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，不能漏解，属于中考压轴题．