Question

3．如图，AB为⊙O直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的两条切线交于点G，GD交AB延长线于点E，切点为D．
（1）求证：EF=ED；
（2）过点D作DM∥AE交⊙O于点N，交AG于点M，若∠C=15°，求MN：ND的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由OC⊥AB得∠C+∠OFC=90°，利用对顶角相等得∠OFC=∠DFE，再根据切线的性质得∠ODC+∠EDF=90°，加上∠C=∠ODC，则∠DFE=∠EDF，于是根据等腰三角形的判定定理即可得到EF=ED；
（2）作DH⊥EF于H，OQ⊥ND，如图，由∠C=15°可得∠COD=150°，则∠DOE=60°，在Rt△ODH中，设⊙O的半径为r，根据含30度得直角三角形三边的关系得到OH=$\frac{1}{2}$r，由于DM∥AB，易得四边形OQDH为矩形，所以DQ=OH=$\frac{1}{2}$r，接着利用垂径定理得到DQ=NQ=$\frac{1}{2}$r，然后根据切线性质∴AB⊥AG，则可判定四边形AMDH为矩形，则有MD=AH，于是可计算出MN=$\frac{1}{2}$r，则易得MN：ND=1：2．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵OC⊥AB，
∴∠C+∠OFC=90°，
而∠OFC=∠DFE，
∴∠C+∠DFE=90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
即∠ODC+∠EDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠DFE=∠EDF，
∴EF=ED；
（2）解：作DH⊥EF于H，OQ⊥ND，如图，
∵∠C=15°，
∴∠COD=150°，
∴∠DOE=60°，
在Rt△ODH中，设⊙O的半径为r，则OH=$\frac{1}{2}$r，
∵DM∥AB，
∴四边形OQDH为矩形，
∴DQ=OH=$\frac{1}{2}$r，
∵OQ⊥DN，
∴DQ=NQ=$\frac{1}{2}$r，
∵AG为⊙O的切线，
∴AB⊥AG，
∴四边形AMDH为矩形，
∴MD=AH，
而AH=OA+OH=r+$\frac{1}{2}$r=$\frac{3}{2}$r，MD=MN+DN=MN+r
∴MN=$\frac{1}{2}$r，
∴MN：ND=$\frac{1}{2}$r：r=1：2，
即MN：ND的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和解直角三角形．