Question

7．已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠BEC的值．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可分别求得A、B的坐标，可设AD=x，则可表示出OD的长，在Rt△OCD中，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；
（2）利用三角形外角的性质和折叠的性质可求得∠BEC=∠DCO，在Rt△OCD中可求得sin∠OCD，即可求得sin∠BEC．

解答 解：
（1）在y=-x+12中，令x=0可得y=12，令y=0可得x=12，
∴A（12，0），B（0，12），
∴OB=OA=12，
∵C为OB中点，
∴OC=6，
设AD=x，则OD=12-x，
由题意可知CD=AD=x，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得OC²+OD²=CD²，
∴6²+（12-x）²=x²，解得x=$\frac{15}{2}$，
即AD的长为$\frac{15}{2}$；
（2）∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=∠ECD=45°，
∵∠BEC+∠OBA=∠ECD+∠OCD，
∴∠BEC=∠OCD，
∵AD=CD=$\frac{15}{2}$，
∴OD=12-$\frac{15}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴sin∠OCD=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{15}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BEC=$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查一次函数上点的坐标特征及折叠的性质，充分利用折叠前后的对应边相等、对应角相等是解题的关键．