Question

15．如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，再沿EG折叠，使点C落在矩形内的点H处，且E、F、H在同一直线上，若AB=6，BC=8，则CG的长是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先设BE=x，则EF=x，CE=8-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可得，x²+4²=（8-x）²，求得BE=3，CE=5，再判定△ABE∽△ECG，可得$\frac{BE}{CG}$=$\frac{AB}{EC}$，即$\frac{3}{CG}$=$\frac{6}{5}$，进而得到CG=$\frac{5}{2}$．

解答 解：设BE=x，则EF=x，CE=8-x，
由折叠可得，AF=AB=6，
由勾股定理，可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴CF=10-6=4，
在Rt△CEF中，由勾股定理可得，x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
∴BE=3，CE=5，
由折叠可得，∠AEF=$\frac{1}{2}$∠BEF，∠GEF=$\frac{1}{2}$∠CEF，
∴∠AEG=$\frac{1}{2}$∠BEC=90°，
∴∠CEG+∠AEB=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEG，
又∵∠B=∠ECG=90°，
∴△ABE∽△ECG，
∴$\frac{BE}{CG}$=$\frac{AB}{EC}$，即$\frac{3}{CG}$=$\frac{6}{5}$，
∴CG=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据勾股定理列方程求解．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．