【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,点D在⊙O上,AD⊥AB于点A, AD与 BC交于点E,F在DA的延长线上,且AF=AE.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)若AD=4,,求BC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2.
【解析】
(1)连接BD,因AD⊥AB,所以BD是直径.证明BF⊥DB即可.
(2)作AG⊥BC于点G.由(1)中结论∠D=∠2=∠3,分别把这三个角转化到直角三角形中,根据cos∠ABF=,求相关线段的长.
解:(1)如图,连接BD.
∵AD⊥AB,D在圆O上,
∴∠DAB=90°,
∴DB是⊙O的直径.
∴∠1+∠2+∠D=90°.
又∵AE=AF,
∴BE=BF,∠2=∠3.
∵AB=AC,
∴∠D=∠C=∠2=∠3.
∴∠1+∠2+∠3=90°.
即OB⊥BF于B.
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)作AG⊥BC于点G.
∵∠D=∠2=∠3,
∴cosD=cos∠3=.
在Rt△ABD中,∠DAB=90°,AD=4,cosD=,
∴BD= =5,AB==3.
在Rt△ABG中,∠AGB=90°,AB=3,cos∠2=,
∴BG=ABcos∠2=.
∵AB=AC,
∴BC=2BG=.
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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
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【题目】已知抛物线的解析式为,是抛物线上的一个动点,是抛物线对称轴上的一点.
(1)求抛物线的顶点及与轴交点的坐标;
(2)是过点且平行于轴的直线,与抛物线的对称轴的交点为,,垂足为点,连接,.
①当是等边三角形时,求点的坐标;
②求证:.
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【题目】如图,点P按A→B→C→M的顺序在边长为l的正方形边上运动,M是CD边上中点,设点P经过的路程x为自变量,△APM的面积为y,则函数y的大致图像是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,其中∠ABC=∠AED=90°,CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=2BE;③MPMD=MAME;④2CB2=CPCM.其中正确的是( )
A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】如图,以点O为圆心,OE为半径作优弧EF,连接OE,OF,且OE=3,∠EOF=120°,在弧EF上任意取点A,B(点B在点A的顺时针方向)且使AB=2,以AB为边向弧内作正三角形ABC.
(1)发现:不论点A在弧上什么位置,点C与点O的距离不变,点C与点O的距离是 ;点C到直线EF的最大距离是 .
(2)思考:当点B在直线OE上时,求点C到OE的距离,在备用图1中画出示意图,并写出计算过程.
(3)探究:当BC与OE垂直或平行时,直接写出点C到OE的距离.
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【题目】如图,ABCD中,AB∥x轴,AB=6.点A的坐标为(1,﹣4),点D的坐标为(﹣3,4),点B在第四象限,点G是AD与y轴的交点,点P是CD边上不与点C,D重合的一个动点,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,点P的坐标为______.
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