Question

在△ABC中，∠C=90°，AB=2cm，BC=1cm，以点C为顶点作一个等边三角形，使其他两个顶点在△ABC的边上，则这个等边三角形的面积为

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：分类讨论

分析：先解直角△ABC，求出∠A=30°，∠B=60°，则以点C为顶点作一个等边三角形，分两种情况：①如图1，以C为顶点，CA为一边，作∠ACD=30°，交AB于D，则△BCD是等边三角形，S_△BCD=

3

4

BC²=

3

4

cm²；②如图2，以C为顶点，CA为一边，作∠ACE=60°，交AB于E，再作∠CEF=60°，交AC于F，则△CEF是等边三角形．在直角△ABC中，利用勾股定理求出AC=

3

cm，在直角△ACE中，利用直角三角形的性质得出CE=

1

2

AC=

3

2

cm，则S_△CEF=

3

4

CE²=

3 3

16

cm²．

解答：解：在△ABC中，∵∠C=90°，AB=2cm，BC=1cm，
∴sinA=

BC

AB

=

1

2

，
∴∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°．
以点C为顶点作一个等边三角形，可分两种情况：
①如图1，以C为顶点，CA为一边，作∠ACD=30°，交AB于D，则△BCD是等边三角形．
S_△BCD=

3

4

BC²=

3

4

cm²；
②如图2，以C为顶点，CA为一边，作∠ACE=60°，交AB于E，再作∠CEF=60°，交AC于F，则△CEF是等边三角形．
在△ABC中，∵∠C=90°，AB=2cm，BC=1cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

3

cm．
在△ACE中，∵∠AEC=90°，∠A=30°，
∴CE=

1

2

AC=

3

2

cm．
S_△CEF=

3

4

CE²=

3 3

16

cm²；
综上可知，这个等边三角形的面积为

3

4

cm²或

3 3

16

cm²．
故答案为

3

4

cm²或

3 3

16

cm²．

点评：本题考查了等边三角形、直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，难度适中．进行分类讨论作出符合题意的等边三角形是解题的关键．