Question

（2010•朝阳区二模）如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．
（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF-BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；
（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；
（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）（3）的解题思路一致，都是通过两步全等来实现；在DF上截取DM=BE，第一步，首先证△ADM≌△ABE，得DF=BE；第二步，证△AMF≌△AEF，得EF=FM，由此得到DF、EF、BE的数量关系．
（4）根据前三问的结论知：EF=DF-BE，那么△CEF的周长可转化为：EF+BE+BC+FC=DF+BC+FC，即可得解．
解答：解：（1）证明：在DF上截取DM=BE；
∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE=AM，∠EAB=∠DAM；
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM=45°，即∠MAF=45°=∠EAF，
又∵AE=AM，AF=AF，
∴△AEF≌△AMF，得EF=FM，
∵DF=DM+FM，
∴DF=BE+EF，即EF=DF-BE．

（2）EF=DF-BE．（解法参照（1）（3））

（3）EF=DF-BE．
证明：在DF上截取DM=BE，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，
∴AD=AB，
∴△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，
∴∠DAM=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，
∴∠MAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠MAF；
∵AF是△EAF与△MAF的公共边，
∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF；
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE．

（4）由上面的结论知：DF=EF+BE；
∴△CEF的周长=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15．
即△CEF的周长为15．
点评：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，通过两步全等来证得关键的两组线段相等是此题的基本思路．