Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，AF=DE，连接BF、CE．

（1）求证：∠CBF=∠BCE；

（2）若点G、M、N在线段BF、BC、CE上，且 FG=MN=CN．求证：MG=NF；

（3）在（2）的条件下，当∠MNC=2∠BMG时，四边形FGMN是什么图形，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形FGMN是矩形，见解析

【解析】

（1）由“SAS”可证△ABF≌△DCE，可得∠ABF＝∠DCE，可得结论；

（2）通过证明四边形FGMN是平行四边形，可得MG＝NF；

（3）过点N作NH⊥MC于点H，由等腰三角形的性质可证∠BMG＝∠MNH，可证∠GMN＝90°，即可得四边形FGMN是矩形．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，且AF＝DE

∴△ABF≌△DCE（SAS）

∴∠ABF＝∠DCE，且∠ABC＝∠DCB＝90°

∴∠FBC＝∠ECB

（2）∵FG＝MN＝CN

∴∠NMC＝∠NCM

∴∠NMC＝∠FBC

∴MN∥BF，且FG＝MN

∴四边形FGMN是平行四边形

∴MG＝NF

（3）四边形FGMN是矩形

理由如下：

如图，过点N作NH⊥MC于点H，

∵MN＝NC，NH⊥MC

∴∠MNH＝∠CNH＝∠MNC，NH⊥MC

∴∠MNH+∠NMH＝90°

∵∠MNC＝2∠BMG，∠MNH＝∠CNH＝∠MNC

∴∠BMG＝∠MNH，

∴∠BMG+∠NMH＝90°

∴∠GMN＝90°

∴四边形FGMN是矩形