Question

19．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=9．将矩形纸片折叠，使点B和点D重合．
（1）求ED的长；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明三角形DEF为等腰三角形，从而得到ED=DF，设DE=x，则DF=x，FC=9-x，然后在△DFC中依据勾股定理列方程求解即可；
（2）过点E做EM垂直于BC，垂足为M．先求得MF的长度，然后依据勾股定理可求得EF的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3．
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF．
∵∠BFE=∠EFD，
∴∠EFD=∠DEF，
∴DE=DF．
设DE=x，则DF=x，FC=9-x．
在Rt△DFC中，FC²+DC²=DF²，
∴（9-x）²+3²=x²．解得x=5．
∴DE=5．
（2）过点E做EM垂直于BC，垂足为M．则AE=CF=4，BF=DF=5

∵AE=CF=4，BF=DF=5，
∴MF=BF-BM=5-4=1．
∴Rt△MEF中，EF²=EM²+MF²=3²+1²=10
∴$EF=\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．